음향방사문제에서 직접경계요소법의 비유일성 회피방법에 관한 고찰

김국현 1* 1 동명대학교 조선공학과 Investigation on Method Avoiding Non-uniqueness of Direct Boundary Element Method in Acoustic Wave Radiation Problem

1 Department of Naval Architecture, Tongmyong University 요 약 직접경계요소법은 음향방사문제 해석에 널리 적용되는 수치해석기법중 하나이지만 , 외부 음향방사 문제에 있 어서는 방사면 내부공간의 고유주파수 근방에서 비유일성이 나타나게 된다 . 이를 해결하기 위한 방법으로 CHIEF 방 법이 일반적으로 적용되어 왔으며 , 최근 들어서는 ICA-Ring 방법과 같은 새로운 기법이 제안되어 해의 정확도 향상 에 기여하고 있다 . 본 논문에서는 앞서 언급한 두 가지 비유일성 회피기법들의 특성을 살피고 , 각각의 기법 구현을 포함한 직접경계요소법 기반의 수치해석 코드를 작성한다 . 또한 , 법선방향 균일속도로 진동하는 구의 음향방사문제에 대한 수치해석을 수행하고 그 결과를 해석 해와 비교하여 각각의 기법들에 대한 비유일성 회피 성능을 고찰한다 .

1. 서론 경계요소법 (boundary element method)은 유한요소법 (finite element method)과 함께 음향문제 해석을 위해 가 장 효과적으로 널리 사용되고 있는 수치해석방법이다[1]. 뿐만 아니라, 경계요소법은 유한요소법과 같이 음장공간 전체를 3차원 요소로 이산화(discretizing)하지 않고 경계 면만을 2차원 요소로 이산화하여 음향 산란(scattering)/방 사(radiation) 문제와 같이 음장공간이 무한영역으로 되어 있는 경우에 더욱 효과적으로 적용될 수 있다.

경계요소법은 헬름홀쯔 적분방정식 (Helmholtz integral equation)에 대한 수치해를 구하는 방법이며, 정 식화 과정에 따라 직접경계요소법 (direct boundary element method)[2]과 간접경계요소법(indirect boundary element method)[3]으로 분류된다. 특히, 직접경계요소법 은 간접경계요소법에 비해 정식화가 간단하고 유한요소 법과 행렬 결합이 용이해 유체와 구조가 연성된 음향 산 란 및 방사문제에 대해서도 효과적으로 적용되고 있다 [4]. 그럼에도 불구하고 직접경계요소법은 무한 공간에 대한 음향산란 또는 방사문제를 해석할 때 경계면으로

위해 CHIEF(combined helmholtz integral equation formulation) 방법이 주로 적용되어 왔다. CHIEF 방법이 란 CHIEF 점이라 불리는 가상의 음원들을 경계면 내부 영역에 분포시켜 overdetermined 행렬을 구성하고 해를 구하는 방법을 말한다. 그러나 CHIEF방법은 최적의 가 상 음원 수와 분포 위치를 결정하기가 쉽지 않아 대부분 의 연구자들의 경험에 의존하는 실정이다. 한편, and Fujiwara[6]는 경계면을 얇은 쉘(shell)로 가정하여 비 유일성을 해결하는 새로운 방법을 제안하고 전형적인 음 파 산란문제 중 하나인 2차원 방음벽의 삽입손실 (insertion loss) 해석에 응용한 바 있다. 또한, Hirosawa 등[7]은 Ishizuka and Fujiwara이 제안한 비유일성 회피방 법을 ICA-Ring 방법(inner cavity ringing method)으로 명 명하고 보다 수학적이고 체계적으로 정식화하였으며, 2 차원 다중영역(plural domain) 산란문제로 확장한 바 있 다. 본 연구에서는 앞서 언급한 법 등의 비유일성 음향방사문제에 확장/적용하고 각각의 방법들에 대한 특징과 성능을 고 찰하고자 한다. 이를 위해 각각의 비유일성 회피방법을 고려한 직접경계요소법을 정식화하고 이를 바탕으로 수 치해석 코드를 작성한다. 또한, 법선방향 균일 속도로 진 동하는 구(sphere)의 음향방사문제에 대한 수치해석을 수 행하고 그 결과를 해석 해와 비교하여 각각의 기법들에 대한 비유일성 회피 성능을 고찰한다.

2. 직접경계요소법 직접경계요소법은 음향방사문제에 있어서 효과적인 수치해석방법중 하나이지만, 특정 주파수 근방에서 정확 한 해를 구할 수 없는 단점이 있다. 이는 경계면 내부음 장에 대한 Dirichlet 경계조건에서의 고유주파수 (eigen-frequency)에 해당하는 주파수 근방에서 발생하는 해의 비유일성(non- uniqueness) 때문이다. 본 장에서는 수치해석 코드 작성을 위한 직접경계요소법을 정식화 하 고 CHIEF 방법, ICA-Ring 방법 등의 비유일성 회피방법 에 대해 정리한다. 2.1 직접경계요소법 그림 1에 보인 바와 같이 진동하는 경계면에 의한 공

Ishizuka

[그림 1] 음향방사문제 좌표 정의                        (1)

ICA-Ring방

CHIEF 방법, 회피방법들을 3차원

여기서,  과    는 각각 수신기 위치벡터  과 경 계면상 임의 위치벡터   에서의 음압,  은 경계면의 법선  에 대한 편미분,  는 경계면,  는 체적각도(volume angle)로서 수신기가 부드러운 경계면상에 있는 경우 1/2, 자유공간에서는 1의 값을 갖는다. 또한,    는 식 (2) 로 정의되는 자유음장 그린함수(Green function)이다.              (2) 여기서,      ,  는 파수를 의미한다. 한편, 그림 1에 나타낸 경계면  를 유한개의 평면요소 로 근사화하고    =     의 관계식을 식 (1)에 대입하여 정리하면 식 (3)을 얻을 수 있다.                   (3)               여기서,  는 음장공간의 유체밀도,  는 각주파수,    는   에서의 경계면의 법선방향 속도,  은 경계면  의 평면분할 수,   는  번째 평면을 의미한다. 분할된 경계면   에 대해 4-절점 선형요소(4-node linear element)[8]를 식 (3)의 우변 첫 번째와 두 번째 적

                                         (4)                                        (5)      여기서,                                                                                  또한, 식 (4)와 식 (5)를 이용해 식 (3)을 전체 절점에 대한 행렬방정식으로 나타내면 식 (6)이 된다.           (6) 여기서,    와    는 크기가   ×   인 영향행렬,  은 총 절점 수를 의미하며,    ⋯  ⋯        ⋮⋱ ⋮⋱    ⋱⋮ ⋱⋮     ⋯  ⋯        ⋯   ⋯     ,     ⋯   ⋯     .

이와 같이 식 (6)을 이용해 경계면상의 모든 절점에서 의 속도벡터  로부터 음압벡터  를 계산할 수 있으 (7)을 

2.2 비유일성 회피방법 앞서 언급한 바와 같이 직접경계요소법을 이용해 음향 방사문제를 해석하기 위해서는 경계면 내부공간의 Dirichlet 경계문제에 대한 고유주파수 근방에서 발생하 는 해의 비유일성을 회피하여야 한다. 2.2.1 CHIEF 방법 현재 해의 비유일성을 회피하기 위한 방법으로 CHIEF 방법이 가장 널리 사용되고 있다. CHIEF 방법이란 경계 면 내부영역에 CHIEF 점이라고 불리는 가상의 음원들을 배치하여 식 (6)에서 영향행렬    와    의 조건수 (condition number)를 낮춰 해의 안정성을 높임으로써 해 의 비유일성을 회피하는 방법이다. 식 (8)은 CHIEF 점들 을 배치할 경우에 대해 식 (6)을 수정한 결과이다.                                (8) 여기서,     와     는 CHIEF 점들에 따른 추가행렬 이며, 그 크기는 CHIEF 점들 개수가   일 때    ×   이다.

[그림 2] ICA-Ring 방법의 개념

[그림 3] 구에 대한 경계요소 모델 ( 요소수 =384) CHIEF 방법은 Schenck[5]가 처음으로 제안한 이후로 많은 연구자들에 의해 개선이 이루어져 왔음에도 불구하 고 CHIEF 점들에 대한 최적 위치와 개수를 선정이 용이

(shell)로 가정하고 바깥쪽 경계면과 안쪽 경계면을 동시 에 모델링하여 해의 비 유일성을 회피하는 방법이다. 그 림 2는 ICA-Ring 방법을 개념적으로 설명하기 위해 3차 원 문제를 2차원 문제로 단순화 하여 나타낸 것이다. 경계면  가 바깥면   과 안쪽면   , 바깥쪽과 안쪽 면을 연결하는 크기가  인 구멍에 의해 형성되는 미소면   와   로 구성된다고 가정하면 식 (1)의 우변은 식 (9)와 같이 다시 쓸 수 있다.                      (9)                                                   또한, lim →                                                  이므로 식 (9)는 식 (10)이 된다.                            (10) 즉, 식 (1)의 경계면  에 대한 적분방정식은 식 (10)과 같이 바깥경계면   과 내부 경계면   각각에 대한 적 분방정식의 합이 된다. ICA-Ring 방법은 CHIEF방법과 달리 별도의 정식화 과정이 필요하지 않고 단지 경계면 으로부터 일정 두께  만큼 떨어진 가상의 내부 경계면을 추가함으로써 해의 비유일성을 해결할 수 있는 방법이다. 한편, Hirosawa 등[7]은 ICA-Ring 방법을 적용할 경우, 쉘의 두께를 작게 모델링할수록 비유일성이 나타나는 주 파수가 높아지는 특성을 2차원 원통형상 산란문제에 대 한 수치해석을 통해 보인 바 있다.

직접경계요소법의 비유일성을 회피하기 위해 일반적 으로 적용되고 있는 CHIEF 방법과 최근 새롭게 제안된 ICA-Ring 방법의 특성과 성능을 고찰하고자 법선방향 균 일속도(1   )로 진동하는 구의 음향방사문제에 대한 수치해석을 수행하였다. 그림 3은 수치해석모델을 보인 것으로 반지름  는 1m이며, 384개의 4-절점 선형요소 모 델링하였다. 이 때, 수신기의 위치는 모델 중심으로부터 10m 떨어져 있으며, 음향공간의 유체밀도는 1000   , 음속은 1500   , 해석 주파수는 10Hz에서 5000Hz까지 10Hz 간격이다. 그림 4는 기존 직접경계소요법을 이용한 수치해석결 과(conventional DBEM)를 해석해(analytic solution)[4]와 함께 도시한 것으로 특정 주파수에서 규칙적으로 해의 비유일성이 나타나고 있다.

[그림 4] 기존 직접경계소요법을 이용한 수치해석결과와 해석해 비교 [표 1] CHIEF POINT 수에 따른 주파수구간별 오차 Freq. Range(Hz) CHIEF Point Number from to 0 1 2 3 10 1000 504.9% 1.8% 1.6% 1.8% 1010 2000 34.4% 3.2% 3.0% 4.8% 2010 3000 42.1% 6.3% 3.5% 6.7% 3010 4000 29.9% 5.5% 3.3% 8.5% 4010 5000 20.9% 12.9% 3.8% 10.5% 그림 5는 CHIEF 방법에 의한 비유일성 회피 결과를 해석해와 함께 보인 것이며 표 1은 주파수 구간별 오차율  을 식 (11)에 따라 정리한 것이며, CHIEF 점 1개 추가 하였을 때 해의 비유일성이 완화되어 오차가 상당한 수 준으로 줄어들었으나 CHIEF 점의 수를 증가에 따른 효 과가 그리 크지 않음을 알 수 있다.

여기서,   와   은 해석해와 수치해석결과를 의미하 며,   과   는 오차분석 주파수 구간의 하한과 상한을 나 타낸다. 한편, 쉘의 두께  를 0.5  , 0.4  , 0.3  , 0.2  , 0.1  , 0.01a로 줄여가면서 ICA-Ring 방법으로 수치해석을 수행 하였다. 그림 6은    ,    ,    에 대한 결과만을 해석해와 함께 나타낸 것이며, 표 2는 식 (11)을 이용해 쉘의 두께 증가에 따른 주파수 구간별 오차분석 결과를 정리한 것이다. Hirosawa 등[7]의 결과와 같이 전 반적으로 쉘의 두께가 작아질수록 해의 비유일성 회피성 능이 향상되고 있음을 알 수 있다. 반면, 쉘의 두께가 0.01  인 경우에는 해의 정확도가 오히려 상당 수준 떨어 지고 있음을 관찰할 수 있다. 따라서 ICA-ring 방법을 이 용해 정도 높은 해석을 수행하기 위해서는 적절한 수준 의 쉘 두께 설정이 필요할 것으로 판단된다.

(a) CHIEF 점 개수: 1

(b) CHIEF 점 개수: 2

본 논문에서는 3차원 음향방사문제에 직접경계요소법 적용할 때 나타나는 해의 비유일성에 대한 회피방법에 대해 고찰하였다. 이를 위해 CHIEF 방법, ICA-Ring방법 등의 비유일성 회피방법을 고려한 직접경계요소법을 정 식화하였으며, 이를 기반으로 수치해석 코드를 작성하였 다. 또한, 법선방향 균일 속도로 진동하는 구에 대한 수치 해석 수행을 통해 각각의 비유일성 회피방법에 따른 성 능을 살펴보았다. CHIEF 방법의 경우, CHIEF 점 1개 추 가하였을 때 해의 비유일성이 상당히 줄어들었으나 CHIEF 점의 수를 증가시키더라도 큰 효과가 없음을 알 수 있었다. 따라서 적절한 CHIEF 점의 개수와 위치 설정 이 필요할 것으로 사료된다. ICA-Ring방법의 경우, 쉘의 두께를 작게 설정할수록 해의 정확도가 향상되었으나 쉘 의 두께를 과도하게 작게 설정할 경우 오히려 해의 정확 도가 저하될 수 있으므로 경계면을 구성하는 요소 크기 를 고려해 쉘의 두께를 적절히 선정해야 함을 알 수 있었 다.

(c)   

Shell Thickness, t Range(Hz) from to 0.5a 0.4a 0.3a 0.2a 0.1a 0.01a 10 1000 0.4% 0.5% 0.8% 2.9% 4.4% 45.0% 1010 2000 13.7% 11.8% 4.0% 0.7% 4.7% 49.6% 2010 3000 16.9% 10.4% 29.4% 6.5% 6.6% 61.3% 3010 4000 18.4% 34.4% 7.6% 73.7% 4.1% 55.9% 4010 5000 37.2% 11.9% 28.2% 24.2% 0.9% 56.7% 참고문헌