엔트로피 개념을 활용한 개수로 마찰속도 산정

   마찰속도는 바닥경계에서의 전단력의 특성화, 주 흐름 방향의 혼합계수의 결정 그리고 하상입자의 유수 부상 여부 판단을 결정하는 중요한 매개변수이다. 또한 벽 근 처에서 개수로 난류구조를 나타내는데 사용되며, 하천 및 해안의 확산된 오염물질의 비율을 예측하는데 사용되 * Corresponding Author : Hyun Soo Ko(Pusan National Univ.) Tel: +82-51-510-7654 email: Received September 26, 2014 Revised December 23, 2014
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   는 등 개수로 설계에 있어 매우 중요하다. 일반적으로 마찰속도를 산정하기 위한 여러 방법 중 가장 간단한 방법은 하상경사를 이용하는 방법이다. 이 방법은 현장에서 많이 쓰일 수 있는 방법이지만, 등류조 건이 확보되어야 합리적인 값을 얻을 수 있다는 단점이 있다. 또한 표면마찰계수와 Clauser 등[1]의 방법은 다양 한 흐름변수 계산에 사용되고 있는 직접적 혹은 간접적 Accepted February 12, 2014

   인 방법에서 마찰속도 사용을 일반적으로 정규화하고 있 는 문제점이 있다. 경계층의 특징의 경우 정확한 경계층 근처의 데이터를 필요로 하고 이 데이터는 항상 정확히 측정하여 사용할 수 없기 때문에 마찰속도를 정확히 결 정하는데 어려움을 겪는다. 그리고 점성저층에서 평균유 속의 선형법칙을 이용하는 방법 역시 실제 점성저층이 존재하지 않기 때문에 실제 하천에서도 적용하기 적절하 지 못하다. 평균유속의 대수법칙을 이용하는 방법은 실 제 하천에서 침식과 퇴적현상으로 바닥기준면이 지속적 으로 변화하고 그 특성조도높이의 산정이 어렵기 때문에 적용하기 곤란하다. 또 다른 방법으로 최성욱 등[2]. Buschmann 등[3]은 매끈한 표면 위의 흐름일 때 멱법칙 과 중첩지역(25 < y < 1000)의 데이터를 사용한 마찰속 도 산정법을 제안하였다. 하지만 이 방법은 거친 표면에 서의 경우 줄어든 매끈한 표면에 비해 더 커진 형상항력 (form drag)의 계산이 힘들기 때문에 마찰속도를 구하기 가 힘들다. Nitsche 등[4]은 제시된 CPM(Computational preston tube method)은 벽면근처 난류경계층에서 임의 의 상사법칙이 존재할 것이라는 가정하여 벽 법칙에 대 해 수치적분을 하여 마찰 유도식을 산정한 바 있으며, Szablewski 등[5]은 실제 경계층에 영향을 줄 수 있는 조 건을 고려하고 압력구배에 의한 영향도 반영하도록 하여 3가지 매개변수를 이용한 벽 법칙을 사용하였다. 위의 연 구들과 같이 마찰속도 공식의 대부분은 점 유속과 최대 유속 등을 이용하며, 매개변수를 최소 3개 이상 산정해야 한다. 따라서 본 연구에서는 보다 간단하면서 정확한 마 찰속도를 산정하기 위해 엔트로피 개념에 의한 마찰속도 식을 제안 하였고 이를 Song(1994)[6] 실험 데이터에 적 용하여 실험값과 산정값을 비교하여 신뢰성과 적용성에 대한 검증을 하였다. 국내의 Chiu의 엔트로피 개념의 유 속분포를 이용한 연구로는 김영성 등[7]은 엔트로피에 의한 유량측정 기법을 한강대교, 여주, 유성 지점의 유량 측정값과 적용하여 그 타당성을 검토하였다. 오제승 등 [8]은 엔트로피 매개변수 M값을 이용하여 홍수량을 추정 하는 연구를 수행하였다. 이찬주[9]는 2차원 주유속 분포 를 추정할 수 있는 엔트로피 개념에 기초할 확률론적 유 속분포에 관한 공식을 살피고 국내 하천에서 측정한 ADCP 자룔를 이용하여 그 적용성을 검토하였다. 본 논문에서는 Chiu등[10][11][12]에 의해 개발된 식으 로부터 흐름 및 수리특성이 반영된 하천의 특징을 나타 내는 엔트로피 매개변수M값을 바탕으로 매개변수와 오

   차를 최소화고 실제 마찰속도와 가장 근접한 마찰속도식 을 새롭게 제안하였다.

   정보이론분야에서 불확실성의 측도로 많이 사용되는 엔트로피는 Shannon[13]에 의해 처음 소개되었다. 엔트 로피 법칙이란 모든 현상은 항상 전체 엔트로피가 증가 하는 방향으로, 다시 말해 우주의 모든 현상은 본질적으 로 보다 더 무질서한 방향으로 진행된다는 것을 뜻하며 물리적인 의미로는 확률이다. 엔트로피의 개념을 사용한 곽승진 등[14] Chiu의 엔트로피 유속분포식 은 확률 통계 에서 사용되는 엔트로피 개념을 유속공식에 도입 및 적 용하여, 2차원 분포를 나타낼 수 있는 유속공식이다. 그 리고 유속의 엔트로피 함수가 엔트로피 극대화에 대한 제약조건을 만족시켜 유속의 확률 밀도 함수를 구할 수 있다. 이 밀도 함수를 각 제약 조건 별로 다시 대입하여 필요한 2차원 유속공식 또는 평균유속 공식을 얻을 수 있 는 방법으로 Chiu 가 최초로 이 개념을 도입하였기 때문 에 Chiu의 유속공식이라 불린다. 본 논문에서는 Chiu에 의해 (1987, 1988, 1989) 유도된 Chiu의 유속공식을 이용 하여 개수로의 마찰 식을 유도하고자 한다. Chiu의 유속 공식에 대한 엔트로피 함수는 다음 식(1) 같다.                         (1) 여기에서  = 공간적 좌표  ≤  ≤  의 범위, u=  에 서의 유속을 말한다.   는 u=0에서 수로 경계층에서 발 생하는  의 최소값,    는 u에서  의 최대값, M은 엔 트로피 매개변수이다.

   [Fig. 1]    Coordinates in open-channel sections (chiu, 1988, 1989)

   Fig. 1은 등유속선 근처 경계(바닥과 측면)와 0속도 등 유속선의 모양과 같이 달라지는 좌표를 보여준다. 여기 에서  커브는  커브의 직교궤도이다. 속도분포로써 식(1)의 이론적 기초를 설명하며, 아래 와 같은 특별한 형태로 나타낼 수 있다.(Chiu, 1988, 1989)                  (2)           (3) 위 식은 수로 단면에서 u의 확률밀도 함수이며, 식(3) 은 정보 수집에서 사용된 방법과 통계역학 과 통계 Rao,1965[11]에 의해 결정된다. 이 경우에는 함수를 극대 화 하여 p(u)를 유도한다. 제약조건은 다음과 같다.       (4)  그리고            (5) 여기서, A는 단면적, Q는 A를 통한 유량이다. 물리적으 로, 위 공식은  가 (0부터 전체 사이)무작위로 추출되고, 그에 해당하는 유속 값, u = G(  )가 얻어지는 것을 의미 한다. 그리고 u 와    사이에 속도의 확률은 p(u)du 이다. 식(4)는 확률밀도함수의 간단한 정의(조건)이고, 식(5) 는 단면의 평균 또는 평균속도가 Q/A와 동일해야 한다 는 조건을 나타낸다. 식(3)을 식(4), (5)에 대입하면 식(6) 과 식(7)을 유도 할 수 있다.               (6) 그리고        (7)

    식(6)은 다음과 같이 나타낼수있다.                        (8)   (7)식을 (6)식에 대입정리하면 식(9)와 같다 ∴          ∙       (9) 유속기울기를 산정하기 위해서, (2)식을 미분하여 정 리하면 (10)식과 같다.                         (10) 여기서 수로 바닥에서는   ≒       되어       는 1이 된다. 식 (10)은 식 (11)과 같이 다시 정리할 수 있다.                          (11) 수리학에서 수로바닥의 평균전단 응력은 다음 식(12) 와 같이 나타낸다.                                      (12) 여기서,    는 바닥경계층의 평균전단응력,    는 수로경 계층 따르는    의 평균값으로 개수로 에서는 하상바닥 으로부터 수표면의 깊이를 의미하며 일반적으로 D(수심) 와 같다.  는 물의 밀도, g는 중력가속도, R은 동수반경,   는 에너지경사,  는 마찰속도이다. 식(9)와 식(11)을 식(12)에 대입정리하면 식 (13)과 같 은 새로운 마찰유속공식이 유도된다.         ∙ ∙        ∙   (13) 새롭게 제안하는 식(13)의 특징은 우선 그동안 가장 산정하기가 어려웠던 에너지경사(   )가 없다는 것이다. 또한 일반적으로 하천에서 구할 수 있는 수심(D), 동점성

   계수(  ), 평균유속(   )과 엔트로피 파라메타(M)만 있으 면, 그동안 산정이 매우 어려웠던 마찰속도(  )를 손쉽게 산정할 수 있다는 장점이 있다. 따라서 식(13)의 효용성 을 증명하기 위하여 Song이 1994년에 실측한 실험 데이 터에 적용하여 실험값과 산정 값을 비교 분석하였다.

   본 논문에서 제안한 마찰유속공식의 유용성 및 활용 성을 검증하기 위하여 Song(1994)의 Ph.D.논문에서 실측 된 자료를 사용하였다. 연구에 사용된 수로는 길이 16.8m, 폭 60cm, 높이 80cm이고, 재질은 유리벽과 스틸 바닥으로 구성되어 있으며, 세부사항은 Fig. 2 and 3과 같다. 그리고 수로의 기울기는 + 9 % 에서 -1 %까지 조 절이 가능하며, 유량은 ADVP를 통해 측정하였다.

   [Fig. 2] The cross-section of the measurement open channel

   [Fig. 3] The longitudinal section of the measurement open channel 본 연구에서는 등류와 부등류 에서 측정된 데이터를 사용하였고, 실제 자연하천 상황을 나타낼 수 있게 경사 에 따른 다양한 유량변화를 주었다. 경사는 -90%에서 90%까지 유량은 50cm/s ~ 145cm/s 이며 각 수위에 따른 Horizontal velocity 를 나타내었다. 각각 측정에 대한 성 과들은 Table. 1과 같다. 여기에서 문자 AC는 가속(accelerating)흐름, DC는

   감속(decelerating)흐름, S는 경사 Q는 유량, D는 수심, U 는 평균유속, T는 온도를 뜻한다. [Table 1] hydraulic parameter S Q D U T Division (%) (cm/s) (cm) (cm/s) °C S50-Q50 0.005 50000 11.8 70.6 18.8 S50-Q70 0.005 70000 14.2 82.2 18.8 S50-Q90 0.005 90000 17 88.2 18.9 S50-Q110 0.005 110000 18.9 97 19.1 S50-Q130 0.005 130000 21.3 101.7 19.2 S90-Q60 0.009 60000 11.2 89.3 19.2 S90-Q70 0.009 70000 12.2 95.6 19.2 S90-Q100 0.009 100000 15.6 106.8 19.1 ACS00-Q100 0 100000 16.2 102.9 23.2 ACS00-Q145 0 145000 20 120.8 23.2 ACS25-Q60 -0.25 60000 13.1 76.3 23.4 ACS25-Q80 -0.25 80000 15.1 88.3 23.4 ACS25-Q100 -0.25 100000 16.9 98.6 23.4 ACS50-Q80 -0.5 80000 15.9 83.8 22.8 ACS50-Q110 -0.5 110000 17.9 102.4 22.8 ACS75-Q80 -0.75 80000 16.5 80.8 23.4 ACS75-Q100 -0.75 100000 18.2 91.6 23.4 DCS75-Q60 0.75 60000 17 58.8 23.4 DCS75-Q80 0.75 80000 20.5 65 23.4 DCS50-Q55 0.5 55000 14.5 63.22 23.5 DCS50-Q70 0.5 70000 16.5 70.7 23.5 DCS50-Q90 0.5 90000 18.5 81.1 23.4

    식(13)의 우변항에 있는 M을 산정하기 위해 먼저 Choo 등의 (2010, 2011, 2013)등 이 유도한 평균유속공식 인 식(18)를 M의 항으로 정리하면 식 (19)와 같다.

   식(19)을 이용하여 각CASE별 M값을 산정한다. 따라 서 식(13)에 산정된 M값 과 식(19)의 우변항에 실측된 수 리 인자들을 대입하면, 손쉽게 마찰유속을 구할 수 있다.
식(18)을 이용하여 Table. 1에서 측정된 자료를 가지
   고, 각각 실측된 자료를 이용하여 엔트로피 파라미터 M 과  를 산정하였다. 식(19)를 이용하여 M값을 산정하고 마찰속도를 산정하였다. 그 결과는 다음의 Table. 2 와 같다. [Table 2] The entropy parameter M and friction velocity estimated by Song Division Entropy            parameter M (cm/s) (cm/s) (cm/s) (cm/s) S50-Q50 8.66890 6.89 6.9 7.2 6.89 S50-Q70 8.92350 7.57 7.02 7.78 7.57 S50-Q90 9.09830 7.74 7.95 8.43 7.74 S50-Q110 9.47920 9.1 9.24 8.78 9.10 S50-Q130 9.63420 9.4 10 9.27 9.40 S90-Q60 8.92030 8.83 8.67 9.45 8.87 S90-Q70 8.93960 9 9.07 9.81 8.87 S90-Q100 9.56820 10.88 11.21 11.01 10.93 AS00-Q100 9.06310 8 8.23 8.05 8.43 AS00-Q145 9.46240 9.3 9.7 9.24 9.80 AS25-Q60 8.76100 6.67 7.54 7.12 7.08 AS25-Q80 8.95340 7.28 7.36 7.36 7.71 AS25-Q100 9.13910 7.91 7.89 8.26 8.36 AS50-Q80 8.92670 6.9 6.85 6.86 7.24 AS50-Q110 9.07830 7.68 8.05 7.68 8.06 AS75-Q80 8.89070 6.46 7.17 6.54 6.87 AS75-Q100 9.09360 7.2 7.42 7.45 7.60 DS75-Q60 8.64560 4.91 4.97 4.96 5.19 DS75-Q80 8.76380 4.95 5.07 5.04 5.23 DS50-Q55 8.51430 5.2 5.53 5.68 5.50 DS50-Q70 8.80880 5.86 6.25 6.2 6.20 DS50-Q90 9.15990 6.91 6.54 6.84 7.31    는 Song(1993)이 Clauser방법(1954)을 이용하여 산 정한 마찰속도이다. 그 방법은 다음 식(14)와 같다. 식 (14)로부터 식(15)를 얻는다.                (14)                                        (15) 여기에서 K는 본 칼만 상수, B는 적분상수이다.    는 레이놀즈 응력법으로 산정하였으며 그 방법은 식(16)과 같다.       ′′                 (16)

      는 하상경사를 이용한 방법인 다음 식(17)을 이용 하였다.

   그리고  는 본 연구에서 제시한 식(13)에 의해 산정 된 값이다. 아래 Fig. 3은 경사-유량 에 따른 마찰속도  를 도식화 하였다. 여기서 S50-Q70 ᅳ, S50-Q130, S50-Q50, S50-Q90, S50-Q110, S90-Q60, S90-Q70, S90-Q100 는 등류조건 에서 경사에 따른 유량변화이며, ACS00-Q100, ACS00-Q80, ACS25-Q100, ACS25-Q80, ACS50-Q110, ACS50-Q80, ACS75-Q100, ACS75-Q80 는 가속 부등류 흐름에서 경사에 따른 유량변화이고, DCS75-Q80, DCS75-Q60, DCS50-Q70. DCS50-Q55, DCS50-Q90 은 감속 부등류 흐름에서 경사에 따른 유량 변화에 따른 마찰속도를 나타내고 있다. 그리고 Clauser  는 Clauser방법을 사용한 마찰속도값 이며, Reynolds  는 레이놀즈 응력법을 사용한 마찰속도값, bed slope  는 하상경사를 이용하여 산정한 마찰속도 값이다.

   [Fig. 4] The friction velocity distribution 위 Fig. 4에서 알 수 있듯이, 실측된 Song 이 산정한 마찰 속도와 비교한 결과 대체로 식(13) 에 의한 마찰속 도는 Clauser방법을 이용한 마찰속도와 Reynolds 방법을 이용한 마찰속도 사이에 분포하는 것을 볼 수 있다. 이와 같은 관계를 보다 명확하게 하기 위해서 3가지 방법으로 산정한 마찰속도 각각에 대한 분석 결과를 Fig. 5와 같이 나타내었다.
(a)(b)
   (c) [Fig. 5] Comparison of friction velocity flow characteristics (a) Accelerating Non Uniform flow (b) Decelerating Non Uniform flow (c) Uniform flow

   위 Fig. 4a에서 가속 부등류 흐름일 때의 결정계수는 0.9621 Fig. 4b의 감속 부등류 흐름일 때 는 결정계수 0.9274 Fig. 4c 등류 흐름일 때의 결정계수 0.8865로 등류, 부등류 모두 결정계수 1에 가까운 정확성이 나타났다. [Table 3] RMSE Analysis RMSE Division Clauser Reynolds응력      가속 0.41740 0.31286 0.33435 부등류 감속 0.32063 0.36444 0.25986 부등류 등류 0.05097 0.033220 0.049395 RMSE(Root Mean Square Error)는 근사모델의 정확 도 평가 방법으로 값이 0에 가까울수록 실측된 값과 계산 된 값이 잘 일치함을 뜻한다. 각 흐름별 RMSE는 식(13) 으로 산정한 마찰속도와의 비교를 통하였으며 Table. 3 과 같이 감속 부등류 흐름일 때는 RMSE 0.31286으로 레 이놀즈 응력법으로 산정한 값과 거의 일치하였으며 감속 부등류 흐름일대의 RMSE는 0.25986 으로 하상경사를 이용한방법이 가장 일치하였으며 등류 에서는 0.03으로 Reynolds 응력 법으로 산정한 값과 가장 잘 일치하는 것 으로 나타났다.

   수자원 분야에서 정확한 하천흐름의 특성을 조사하는 것은 중요하다. 또한 마찰속도는 정확한 하천흐름에 필 요한 매개변수로써 수자원 설계, 수질복원, 생태 변화 예 측에 필수적이다. 하지만 실제로 하천의 정확한 마찰속 도를 측정하는 것은 매우 어렵다. 그러나 많은 연구자들 에 의해 마찰속도를 산정하는 방법에 관한 연구가 진행 중이며, 하상경사를 이용한 마찰속도 산정법의 경우 간 편하지만 등류조건에서만 적용가능하다는 한계가 있다. 따라서 본 논문에서는 부등류 흐름에서도 적용 가능한 마찰속도를 구하는 공식을 개발하였다. 이 정확성을 증 명하기 위해 Song(1994)의 데이터 중 accelerating flow, Decelerating flow, Uniform flow 의 3가지 Case의 마찰 속도  와 제안한 마찰유속공식을 비교하였다. 분석결과 3가지 케이스 모두 결정계수 1에 가까운 값

   을 나타내었으며 RMSE 또한 높은 정확성 또한 보여주 었다. 그러나 본 연구에서 사용된 자료가 실험실에서 실측 된 자료이므로 자연하천의 실측자료에 대한 분석을 통한 추가적인 연구가 추진된다면 본 연구 결과인 마찰속도 식의 활용성이 제고 될 수 있을 것으로 판단된다.